Operatii cu functii derivabile - derivatele unor functii uzuale

3x puncte

categorie: Matematica

nota: 5.04

nivel: Facultate

Referat despre Operatii cu functii derivabile - derivatele unor functii uzuale
b) Funcția putere ƒ: R → R, ƒ(x) = xn ( n real și x > 0) este derivabilă pe R și ƒ’(x)=nxn-1. (2).
c) Funcția logaritmică ƒ: (0, ) → R, ƒ (x) = ln x este derivabilă pe domeniul de definiție și are derivata (3).
d) Funcțiile trigonometrice ƒ, g: R &ra[...]
DOWNLOAD REFERAT

Preview referat: Operatii cu functii derivabile - derivatele unor functii uzuale

Referat despre Operatii cu functii derivabile - derivatele unor functii uzuale
b) Funcția putere ƒ: R → R, ƒ(x) = xn ( n real și x > 0) este derivabilă pe R și ƒ’(x)=nxn-1. (2).
c) Funcția logaritmică ƒ: (0, ) → R, ƒ (x) = ln x este derivabilă pe domeniul de definiție și are derivata (3).
d) Funcțiile trigonometrice ƒ, g: R → R, ƒ( x ) = sin x, g( x )=cos x sunt derivabile pe R și pentru orice x avem
(sin x)’ = cos x
(cos x)’= -sin x

Demonstrațiile tuturor acestor derivate se fac ușor folosind definiția derivatei.

Reguli de derivare
In continuare arătăm că pentru funcții ca ƒ, g : E→R derivabile, E R, funcțiile ƒ + g, ƒ-g, fg etc. au aceeași proprietate.

Teorema 1
Presupunem că ƒ, g sunt derivabile în punctul x0 E și o constantă.
Atunci :
(a) suma ƒ + g este derivabilă în x0 și
(b) λƒ este derivabilă în x0 și
(c) produsul ƒg este o funcție, derivabilă în x0 și

Teroema 2
Presupunem că ƒ și g sunt derivabile în x0 și că . Atunci funcția – cât este derivabilă în x0 și, în plus :

Derivarea unei funcții compuse și a inversei unei funcții
Trecem acum la stabilirea altor două teorema generale de derivare, relativ la compunere și inversare. Deosebit de importantă este formula de derivare a funcțiilor compuse. In acest sens, are loc:

Teorema 3
Fie I, J intervale și două funcții. Dacă ƒ este derivabilă în punctul x0 I, și g este derivabilă în punctul y0=ƒ(x0), atunci funcția compusă G= g ƒ este derivabilă în x0 și G’(x0) = g’(y0)f’(x0). Dacă ƒ este derivabilă pe I, g este derivabilă pe J, atunci g f este derivabilă pe I și are loc formula :

Teorema 4
Fie ƒ: I →J o funcție continuă și bijectivă între două intervale. Presupunem că ƒ este derivabilă într-un punct x0 I și ƒ’(x0) 0, atunci inversa g=f-1 este derivabilă în punctul y0=f(x0) și, în plus,

Derivatele funcțiilor uzuale și a regulilor de derivare

Reguli de derivare
1.
2.
3.
4.
O funcție ƒ: [a, b] R (a< b) se numește funcție Rolle dacă este continuă pe intervalul compact [a, b] și derivabilă pe intervalul deschis (a, b). Teorema care urmează este o consecință a rezultatelor privind funcțiile și a teoremei lui Fermat, foarte utilă în aplicații.

Teorema lui M. Rolle
Fie ƒ: [a, b] R a< b o funcție Rolle astfel încât ƒ(a)= ƒ(b), atunci există cel puțin un punct c (a, b) astfel încât ƒ’(c)=0.
Demonstrație. Funcția ƒ fiind continuă (conform teoremei lui Weierstrass) este mărginită și își atinge marginile în [a, b]. Fie m= M= .

Apar trei cazuri :
I. M> ƒ(a). Există un punct c [a, b] astfel încât M=ƒ(c) (M fiind atinsă) și, evident, c a, a b (dacă c= a sau b, atunci M= ƒ(c) ar fi egal cu ƒ(a)= ƒ(b), absurd); așadar, c (a, b) și cum c este maxim local, atunci conform teoremei lui Fermat ƒ’(c)=0.
II. m< ƒ(a). Similar.
III. m= M. Atunci funcția ƒ este constantă pe [a, b], deci ƒ’(c)=0 pentru orice c (a, b).

COROLAR. Intre două zerouri ale unei funcții derivabile pe un interval se află cel puțin un zerou al derivatei.

Demonstrație. Fie ƒ: IR derivabilă pe un interval I și a, b I, a< b, zerouri ale lui ƒ. Atunci ƒ(a)=0=ƒ(b) și putem aplica teorema lui Rolle pe intervalul [a, b].

Teorema lui Rolle admite o interpretare geometrică evidentă: dacă
segmentul determinat de punctele (a, ƒ(a)), (b, ƒ(b)) este paralel cu axa Ox, atunci există cel puțin un punct între a și b în care tangenta la graficul lui ƒ este paralelă cu axa Ox (fig. 6).

Observații.
Toate condițiile din enunțul teoremei lui Rolle sunt necesare, în sensul că dacă s-ar renunța la vreuna din ele, atunci concluzia nu ar mai fi întotdeauna adevărată.
a) Dacă ƒ ar fi continuă numai pe intervalul deschis (a, b), exemplul funcției arată că ƒ’ nu se anulează pe intervalul (0, 1) deși ƒ(0)=ƒ(1). (fig. 7).
b) Dacă ƒ(a) ƒ(b), este suficient să considerăm funcția ƒ(x)= x pe [0, 1] (fig 8).
c) Dacă ƒ nu ar fi derivabilă pe întreg intervalul (a, b), concluzia teoremei ar fi falsă, așa cum arată exemplul funcției ƒ(x)=| x | pe intervalul [-1, 1].

Teorema lui Cauchy
Fie ƒ, g două funcții Rolle pe intervalul compact [a, b], a< b, astfel încât g’(x) 0, x (a, b); atunci există un punct c (a, b) astfel încât

Demonstrație.
Condiția g’(x) 0 pentru orice x (a, b) implică faptul că g(a) g(b); într-adevăr, dacă g(a)=g(b), aplicând teorema lui Rolle , ar rezulta că există c (a, b) astfel ca g’(c)=0, ceea ce contravine ipotezei.

Considerăm funcția ajutătoare F(x)=ƒ(x)+kg(x), k R și determinăm k astfel ca F(a)=F(b), deci k= . Aplicând teorema lui Rolle funcției F cu k astfel determinat, există c (a, b) astfel încât F’(c)=0. Dar F’(x)=F’(x)+kg’(x), x (a, b), deci ƒ’(c)+kg’(c)=0, -k= , de unde se obține relația ce trebuia demonstrată.

Observație.
Am fi putut mai întâi sa demonstrăm teorema lui Cauchy și apoi, pentru g(x)=x, am fi demonstrat teorema lui Lagrange..
In cele ce urmează, vom indica o proprietate importantă a funcțiilor care admit primitive, deci care sunt derivate ale altor funcții.
DOWNLOAD REFERAT
« mai multe referate din Matematica

CAUTA REFERAT

TRIMITE REFERAT CERE REFERAT
Referatele si lucrarile oferite de E-referate.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.