Metoda inductiei matematice

2x puncte

categorie: Matematica

nota: 9.08

nivel: Gimnaziu

     1. METODA INDUCTIEI MATEMATICE COMPLETE

     Este o metoda de rationament prin care stabilim ca:

      O proprietate P(n) care depinde de un numar natural n este verificata pentru orice numar natural nk atunci sunt satisfacute simultan conditiile:

     a) Proprietatea P(n) este adevarata pentru n=k; kN

     b) (P(k), kn) P(n+1), [...]
DOWNLOAD REFERAT

Preview referat: Metoda inductiei matematice

     1. METODA INDUCTIEI MATEMATICE COMPLETE

     Este o metoda de rationament prin care stabilim ca:

      O proprietate P(n) care depinde de un numar natural n este verificata pentru orice numar natural nk atunci sunt satisfacute simultan conditiile:

     a) Proprietatea P(n) este adevarata pentru n=k; kN

     b) (P(k), kn) P(n+1), () nk, adica presupunem P(k) adevarata pentru orice kn rezulta p(n+1) adevarata, pentru orice nk.



     2. PERMUTARI

     

Fie E={1, 2, ...,n} o multime finita cu n elemente. Se numeste permutare a multimii E orice functie bijectiva f : E -> E.



      Notam permutarea in felul urmator

      Notam numarul de permutari Pn: Pn= n!=1.2.3...n

     conditie de existenta: nN

     conventie: 0!=1 ; 1!=1

     Pn=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)!

     3. ARANJAMENTE



      Notam cu Ank

      Sistemele ordonate cu k elemente, care se pot forma cu elementele unei multimi cu n elemente (nk), se numesc aranjamente de n elemente luate cate k.



      Ank=n!/(n-k)!=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=(n-k+1)Ank-1

     c.e. nk

     conventie: n=k Ann=Pn



     4. COMBINARI Cnk

     conventie: Cn0=Cnn=1 c.e. nk



     Formule pentru combinari complementare: Cnk=Cnn-k

      Cnk=Cn-1k+Cn-1k-1

     5. BINOMUL LUI NEWTON

     Daca a, bR, nN, atunci:

      (a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+...+Cnkan-kbk+...+Cnn-1abn-1+Cnnbn



     sau

     Tk+1=termen general

     k=se numeste rangul termenului al dezvoltarii



     (a-b)n= Cn0an-Cn1an-1b+Cn2an-2b2-...+(-1)n-kCnkan-kbk+...+(-1)n-1Cnn-1abn-1+(-1)nCnnbn



     sau

     Obs: 1) in dezvoltarea (a+b)n, dupa formula lui Newton, sunt n+1 termeni.

     2) Cn0, Cn1, Cn2,...,Cnn se numesc coeficienti binomiali

     3) Sa se faca distinctie intre coeficientul unui termen al dezvoltarii si coeficientul binomial al aceluiasi termen.



     4) Pentru a determina rangul celui mai mare termen folosim relatia:

     5) In dezvoltarea (a+b)n si (a-b)n, daca a=b atunci:

      Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnn=2n

      Cn0+Cn2+Cn4+...=Cn1+Cn3+Cn5+...=2n-1

     6) Identitatile utile:

     a) Cnk=Cn-1k-1+Cn-2k-1+...+Ck-1k-1

     b) Cn+kk=Cn0Cmk+Cn1Cmk-1+...+CnkCm0



     7) Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale





     Fie k1 un numar natural si Sk=1k+2k+3k+...+nk

      Folosim dezvoltarea (a+1)2=a2+2a+1 pentru demonstratie unde a=1,2,...n.







     Folosim dezvoltarea (a+1)3=a3+3a2+3a+1, pentru demonstratie, unde a=1,2,...n.



     Folosim dezvoltarea (a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1, pentru demonstratie, unde a=1,2,...n





     Caz particular



      6. PROGRESII ARITMETICE SI GEOMETRICE





      Teorema : Fie numerele an-1, an, an+1 in progresie aritmetica. Atunci:

2an=an-1+an+1





     Def: Fie numerele a1, a2, a3,...,an in progresie aritmetica, daca an=a1+(n-1)r sau an=an-1+1, unde: an= ultimul termen

      a1=primul termen

      an-1=penultimul termen

      n=numarul de termeni

      r=ratia progresiei aritmetice





     Obs: Pentru verificare r=a2-a1=a3-a2=a4-a3=...=an-an-1



     Teorema: Fie numerele bn-1, bn, bn+1 in progresie geometrica. Atunci

bn2=bn-1.bn+1

     Def: Fie numerele b1, b2,...bn in progresie geometrica, daca bn=b1.qn sau bn=bn-1.q unde: bn=ultimul termen

      b1=primul termen bn-1=penultimul termen n=numarul de termeni q=ratia progresiei geometrice





     Obs: pentru verificare q=a2/a1=a3/a2=...=an/an-1
DOWNLOAD REFERAT
« mai multe referate din Matematica

CAUTA REFERAT


TRIMITE REFERAT CERE REFERAT
Referatele si lucrarile oferite de E-referate.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.