C.m.m.d.c si C.m.m.m.c

2x puncte

categorie: Matematica

nota: 9.73

nivel: Gimnaziu

C.m.m.d.c

Definitie. Numărul întreg d este cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al numerelor întregi a și b (notăm d=(a, b)), dacă satisface condițiile:
d | a și d | b;
pentru orice întreg , pentru care |a și |b, rezultă |d.
Lemă. Fie m, n, p trei numere naturale astfel încât m=n+p. Dacă numărul natural nenul q divide oricare [...]
DOWNLOAD REFERAT

Preview referat: C.m.m.d.c si C.m.m.m.c

C.m.m.d.c

Definitie. Numărul întreg d este cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al numerelor întregi a și b (notăm d=(a, b)), dacă satisface condițiile:
d | a și d | b;
pentru orice întreg , pentru care |a și |b, rezultă |d.
Lemă. Fie m, n, p trei numere naturale astfel încât m=n+p. Dacă numărul natural nenul q divide oricare două dintre numerele m,n,p atunci q divide și pe al treilea număr.

Demonstrație. Fie q|n și q|p. Atunci u, v N : n=qu și p=qv. Rezultă m=q(u+v), deci q|m. Fie acum q|m și q|n. Atunci t, s N : m=qt și n=qs. Din qt=qs+p rezultă qs  qt și cum q>0 obținem s  t, de unde rezultă că w N așa încât t = s+w. Din qt = qs+p rezultă qs+qw=qs+p, deci qw=p, unde q|p.
Analog se arată că din q|m și q|p rezultă q|n.

Lemă. Dacă x, y,q,r N satisfac egalitatea x=yq+r atunci există cel mai mare divizor comun al lui x și y dacă și numai dacă există cela mai mare divizor comun al lui y și r. În plus, avem (x, y) = (y, r).
Demonstrație. Presupunem că există cel mai mare divizor comun al lui x și y, pe care-l notăm cu d. Din d|x și d|y rezultă, conform lemei anterioare, că d|r, deci avem d|y și d|r.

Fie acum d’ N, așa încât d’|y și d’|r. Conform aceleași leme, rezultă că d’|x și deci d’|x și d’|y, adică d’|d. Așadar, d este cel mai mare divizor comun al lui y și r și avem (y, r) = d = (x, y).
Reciproc, presupunând că există cel mai mare divizor comun al numerelor y și r, pe care îl notăm cu d, va rezulta d|y și d|r, unde d|qy+r=x, deci avem d|x și d|y.

Fie acum d’ N, așa încât d’|x și d’|y. Obținem d’|r, deci d’|y și d’|r, de undew d’|d. Astfel, d este cel mai mare divizor comun al lui x și y și avem (x, y)=d=(y, r).
Teoremă. Fie a, b N . Atunci există și este unic cel mai mare divizor comun al numerelor a și b.
Demonstrație. Dacă a=b=0, atunci cel mai mare divizor comun este 0. Presupunem, în continuare, b 0. Procedeul de determinare pe care-l vom folosi poartă numele de Algoritmul lui Euclid.

C.m.m.m.c

Definiție. Numărul întreg m este cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al numerelor întregi a și b (notăm m=[a, b]) dacă satisface condițiile:
a | m și b | m;
pentru orice întreg , pentru care a |  si b | , rezultă m | .
Teoremă. Pentru orice a, b N există su este unic cel mai mic multiplu comun al lor.
Demonstrație.Dacă a=0 sau b=0,atunci singurul multiplu a lui a și b este 0.
Presupunem în continuare că a0 și b0, prin urmare 0 nu divide ab, deci 0 nu satisface condițiile de a fi cel mai mic multiplu comun pentru a și b.

Considerăm mulțimea: Ma,b={m’ N* | a|m’ și b|m’}.
Din faptul că ab Ma,b:m  m’, oricare ar fi m’ Ma,b.
Vom arăta că m=[a,b].
Din m Ma,b rezultă a|m și b|m.

Aplicăm teorema împărțirii cu rest pentru m’ și m. Rezultă că există q, r așa încât m’=mq+r, 0r
Prin urmare, r=0, de unde m|m’ și cu aceasta am verificat faptul că m=[a, b].
Mai rămâne de arătat unicitatea lui m.
Presupunem că există m1 N, astfel încât dă fie satisfăcute condițiile:
a|m1, b|m1
oricare m2 N : a|m2, b|m2 => m1|m2.
Rezultă atunci că m1 |m și m|m1 deci m=m1.
« mai multe referate din Matematica

CAUTA REFERAT


TRIMITE REFERAT CERE REFERAT
Referatele si lucrarile oferite de E-referate.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.