Statistica si probabilitate

7x puncte

categorie: Matematica

nota: 8.19

nivel: Facultate

Noţiunea fundamentală a teoriei probabilităţilor este aceea de eveniment aleator.
Se numeşte eveniment aleator, un eveniment care în anumite condiţii poate fie să se realizeze, fie să nu se realizeze.
Exemplul 1. Apariţia unei feţe sau a alteia a unei monede aruncate este un eveniment aleator.
Exemplul 2. Lovirea obiectivului v[...]
DOWNLOAD REFERAT

Preview referat: Statistica si probabilitate

Noţiunea fundamentală a teoriei probabilităţilor este aceea de eveniment aleator.
Se numeşte eveniment aleator, un eveniment care în anumite condiţii poate fie să se realizeze, fie să nu se realizeze.
Exemplul 1. Apariţia unei feţe sau a alteia a unei monede aruncate este un eveniment aleator.
Exemplul 2. Lovirea obiectivului vizat în cursul unui tir este un eveniment aleator.
Exemplul 3. La fabricarea unui cilindru cu un diametru de 26 cm, faptul comiterii unei avarii inferioare a 0,2 mm, cu mijloacele de producţie de care dispune este un fenomen aleator.
Definiţie 1. Se numeşte frecvenţa relativă p a unui eveniment aleator A raportul numărului de realizare a acestui eveniment m şi numărul total de încercări identice n* în care evenimentul dat ar fi putut sau nu să se producă.
Vom scrie :
P* (A) = p* = (VII 1)
Din observarea diferitelor fenomene, rezultă că dacă numărul de încercări (probe) din fiecare serie este practic, puţin ridicat, frecvenţa relativă de apariţie a evenimentului A în fiecare serie poate diferi, apreciabil de la o serie la alta.
Dacă în schimb, numărul de încercări dintr-o serie este ridicat, atunci, de regula, frecvenţa relativă de apariţie a evenimentului A în fiecare serie poate diferi puţin de la o serie la alta şi diferenţa aceasta este cu atât mai mică cu cât numărul de încercări dintr-o serie este mai mare. Se spune deci că pentru un număr mare de încercări dintr-o serie, frecvenţa relativă prezintă, din ce în ce mai puţin, un caracter aleator. Notăm de asemenea că există evenimente cu frecvenţa instabilă, astfel încât, valorile lor, chiar pentru o foarte mare serie, pot foarte mult sa difere una de alta.
Experienţa arată că în marea majoritate a cazurilor, există un număr constant p astfel încât frecvenţa relativă a realizării evenimentului A pentru un număr mare de încercări repetate diferă foarte puţin, câteva cazuri rare sunt exceptate, de acest număr p.


Acest fapt empiric se scrie simbolic în felul următor :

p (VII 2)

Numărul p se numeşte probabilitatea realizării evenimentului aleator A. Scrierea simbolică este următoarea :

P(A) = p (VII 3)

Probabilitatea p este o caracteristică obiectivă a şanselor de realizare a evenimentului A pentru încercările date, definită de natura evenimentului A.
Frecvenţa relativă diferă puţin de probabilitatea pentru un număr mare de încercări, excepţie făcând "cazurile foarte rare" pe care le putem neglija.
Relaţia (2) este în mod obişnuit formulată astfel:
"Când numărul de încercări (experienţe repetate) n* creşte indefinit, frecvenţa relative a evenimentului A tinde spre probabilitatea p de realizare a acestui eveniment".
Remarcă: În raţionamentele precedente noi am postulat empiric relaţia (2). Se pot de asemenea postula alte condiţii naturale ce decurg din experienţă. În acest caz se poate de asemenea deduce relaţia (2) care va fi atunci o teorema. Aceasta este teorema lui Bernoulli.
Probabilitatea fiind o caracteristică obiectivă a eventualităţii de realizare a unui eveniment, ea trebuie cunoscută pentru a putea prevedea natura derulării a numeroase procese pe care le considerăm în tehnică, medicină etc.
Determinarea probabilităţii de realizare a unui eveniment cu ajutorul probabilităţilor evenimentelor aleatoare condiţionând evenimentele complexe considerate, studiul legilor de probabilitate care guvernează diverse evenimente aleatoare, constituie obiectul teoriei probabilităţilor.


2. Definiţia clasică a probabilităţilor şi calcul direct al probabilităţii.

În anumite cazuri analiza încercării probei corespunzătoare, permite calcularea probabilităţii elementelor aleatoare considerate. Pentru a explica aceasta considerăm exemplele următoare.
Exemplul 1: Aruncarea unui zar (cub cu şase feţe) pe care sunt notate cifrele de la 1 la 6. În virtutea simetriei celor 6 feţe, apariţia oricărui număr cuprins între 1 şi 6 are o probabilitate egală, deci se numesc echiprobabile. Frecvenţa relativă este p = şi probabilitatea de apariţie în acest caz este tot de . Deci probabilitatea poate fi calculata direct.
Definiţia 1: Se spune că evenimentele aleatoare sunt incompatibile pentru o încercare considerată, dacă este exclus ca în cursul acestei încercări 2 dintre ele să aibă loc simultan.
Definiţia 2: Vom spune că evenimentele aleatoare formează un sistem exhaustiv (sau complet) dacă în cursul fiecărei probe fiecare dintre ele poate fi realizat, excluzând realizarea tuturor celorlalte incompatibile cu ele.
Considerăm sistemul exhaustiv de evenimente aleatoare echiprobabile şi incompatibile. Numim aceste evenimente cazuri sau şanse.
Un caz al acestui sistem se numeşte favorabil realizării evenimentului A dacă apariţia acestui caz implică realizarea evenimentului A.
Exemplul 2. O urna conţine 8 bile numerotate de la 1 la 8. Bilele 1, 2, 3 sunt roşii , celelalte sunt negre. Extragerea bilei numărul 1 (sau 2 sau 3) este un eveniment favorabil apariţiei unei bile roşii. Deci putem da o definiţie conceptului de probabilitate.
Definiţia 3: Se numeşte probabilitate p a evenimentului A raportul numărului cazurilor favorabile m şi numărul total de cazuri n, constituind sistemul exhaustiv de evenimente echiprobabile incompatibile sau simbolic:

P(A) = p = (VII 4)

Definiţia 4: Dacă toate cele n cazuri formând un sistem exhaustiv de evenimente echiprobabile incompatibile sunt favorabile realizării unui eveniment oarecare, un astfel de eveniment se numeşte sigur. Probabilitatea unui eveniment sigur este p = 1.
Un eveniment la care nici unul din cele n cazuri formând un sistem exhaustiv de evenimente echiprobabile incompatibile nu este favorabil, se numeşte eveniment imposibil. Probabilitatea sa este p = 0.
Remarcă: Afirmaţiile inverse sunt de asemenea adevărate în acest caz. În alte cazuri, de exemplu în cazul unei variabile aleatoare continue, după cum vom vedea în cele ce urmează, afirmaţiile inverse pot fi false, adică dacă probabilitatea unui eveniment este egală cu 1 sau 0 nu implică în mod necesar că aceste evenimente sunt sigure sau imposibile.

Rezultă deci că probabilitatea verifică relaţia

0  p  1

Exemplul 3: Fie o carte într-un joc de 36 de cărţi. Care este probabilitatea ca ea sa fie de pică?
Soluţie: Avem aici schema cazurilor echiprobabile. Evenimentul A consta în apariţia unei cărţi de pică. Numărul total al acestui caz este n = 36. Numărul de cazuri favorabile evenimentului A este m = 9. Avem deci în consecinţă:
p = =

Exemplul 4: Se joacă simultan cu 2 monede. Care este probabilitatea ca să apară simultan aceeaşi faţă 1 la ambele monede?

Soluţie: Formăm tabelul:

Prima moneda A doua moneda
Primul caz faţa 1 faţa 1
Al doilea caz faţa 1 faţa 2
Al treilea caz faţa 2 faţa 1
Al patrulea caz faţa 2 faţa 2

Deci sunt în total patru cazuri posibile din care un singur caz este favorabil. În consecinţă, probabilitatea de a ieşi faţa 1 pe ambele piese este:

p =

Exemplul 5: Probabilitatea de a lovi un obiectiv este de 8/10 când tirul este executat cu o primă armă şi de 7/10 când se execută cu a doua armă. Să se găsească probabilitatea de a lovi obiectivul când tirul se efectuează simultan cu cele 2 arme.

Soluţie: Se poate simula această problemă astfel: Două urne conţin fiecare 10 bile numerotate de la 1 la 10. Prima urnă conţine 8 bile roşii şi 2 negre, a doua urnă conţine 7 bile roşii şi 3 negre. Care este probabilitatea ca cel puţin 2 bile extrase să fie roşii?
Cum nu are importanţă din ce urna provine bila atunci numărul de cazuri este 100 (n = 100)

Să calculăm numărul de cazuri favorabile. Atunci când se extrage fiecare din cele 8 bile roşii ale primei urne simultan cu o bilă oarecare ale celei de a doua urne, atunci printre bilele ieşite va fi cel puţin o bilă roşie. Numărul de astfel de cazuri este 10*8 = 80.
Atunci când se extrage fiecare din cele 2 bile negre din prima urnă simultan cu cele 7 bile roşii din a doua urnă găsim cel puţin o bilă roşie printre bilele ieşite. Numărul de cazuri va fi acum de 2*7 = 14. Deci numărul total de cazuri favorabile este m = 80 + 14 = 94.
Probabilitatea de a exista printre bilele ieşite, cel puţin o bila roşie este :

p = =
-aceasta este precizia tirului.

Remarca 2: În acest caz noi am redus problema calculului probabilităţii tirului la problema de apariţie a uneia sau alteia din bile, când se extrage una sau alta dintre bilele unei urne. Se observă deci că problema extragerii bilelor dintr-o urnă poate fi considerată problemă generalizată.

Exemplul 6: Un lot de 100 de articole conţine 10 piese defectuoase. Care este probabilitatea pentru ca printre 4 piese alese întâmplător trei să fie fără defecte?
Soluţie: Există n = maniere de a alege 4 piese dintr-un lot de 100. Numărul de cazuri pentru care 3 din piesele alese sa fie fără defecte este cazul
cu m = * . Probabilitatea căutată va fi atunci:

p = = =  0,3


3. Suma probabilităţilor. Evenimente aleatoare contrare.

Definiţia 1: Se numeşte suma sau reuniunea a 2 evenimente A1 şi A2 evenimentul C, constând în realizarea cel puţin a unuia din cele 2 evenimente.
Vom considera probabilităţile a două evenimente incompatibile A1 şi A2 . Notăm suma acestor evenimente prin A1 + A2 unde, avem încă: A1 sau A2 ; (în acest caz cuvântul ,,sau" nu are caracterul de excluziune, aceasta înseamnă că cel puţin unul din cele 2 evenimente se va realiza conform definiţiei 1.)
Putem enunţa astfel următoarea teoremă de adunare a probabilităţilor. (sau a probabilităţilor totale).

Teorema 1: Presupunem că în cursul unei probe (fenomen, experienţă), pot fi realizate un eveniment aleatoriu A1 de probabilitate P(A1) şi un eveniment A2 de probabilitate P(A2).
Dacă evenimentele A1 şi A2 sunt incompatibile atunci probabilitatea apariţie sumei acestor doua evenimente, sau a unui eveniment constând în realizarea evenimentului A1 sau a evenimentului A2 , se calculează cu formula:

P(A1 sau A2) = P(A1) + P(A2) (VII 5)

Demonstraţie: Fie P(A1 sau A2) = A1  A2

P(A1) = ; P(A2) =

Evenimentele A1 şi A2 fiind incompatibile pentru un număr n de cazuri, numărul de cazuri favorabile realizării simultane a evenimentelor A1 şi A2 este egal cu 0 şi numărul de cazuri favorabile realizării fie evenimentului A1 fie evenimentului A2 este egal cu m1 + m2.
În consecinţă:

P(A1 sau A2) = = + = P(A1) + P(A2)
În mod analog se poate demonstra teorema pentru un număr arbitrar de tiruri:

P(A1 sau A2 sau ... sau An ) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) (VII 6)


Această ultimă egalitate se scrie:

P( ) = (VII 7)

Exemplul 1: Se efectuează un tir asupra unui obiectiv format din 3 zone distincte. Probabilitatea de a cădea în zona a - I - a este P(A1) = , de a cădea în zona a - II - a este P(A2) = şi cea de a cădea în zona a - III - a este P(A3) = .

Care este probabilitatea de a cădea în domeniul D ?

După formula (6) avem:

P(A1) + P(A2)+ P(A3) = I
II III
= + + = .

Definiţia 2: Două evenimente sunt contrarii dacă sunt incompatibile şi dacă constituie un sistem (exhaustiv).
Dacă notăm cu A unul din aceste evenimente, atunci evenimentul contrar va fi notat cu Ā.

Presupunem că probabilitatea de realizare a unui eveniment A este p, atunci putem defini probabilitatea de a nu fi realizat evenimentul A ca fiind probabilitatea de realizare a evenimentului Ā, prin P(Ā) = q.
Cum în timpul experienţei se va realiza în mod cert fie evenimentul A, fie evenimentul Ā, vom obţine în virtutea teoremei enunţate:

P(A) + P(Ā) = 1

Altfel spus suma probabilităţilor evenimentelor contrare este egală cu unitatea.

p + q = 1 (VII 8)

Exemplul 2: Se efectuează o anumită măsură. Notăm prin A faptul obţinerii unor erori inferioare sau egale cu . Fie P(A) = p. Evenimentul contrar, adică faptul obţinerii unor erori superioare sau egale cu , este evenimentul Ā. Probabilitatea acestui eveniment este:

P(Ā) = q = 1 - p

Corolarul 1. Dacă evenimentele aleatoare A1 , A2 , ... , An constituie un sistem exhaustiv de evenimente incompatibile, atunci există egalitatea:

P(A1) + P(A2) + ... + P(An) = 1 (VII 9)

Demonstraţie: Cum evenimentele A1 , A2 , ... , An constituie un sistem exhaustiv de evenimente, realizarea unuia sau altuia din aceste evenimente este un eveniment cert.
În consecinţă:

P(A1 sau A2 sau .... sau An) = 1

Ţinând seama de (VII 6) obţinem egalitatea (VII 9)

Definiţie 3: Evenimentele aleatoare A şi B se numesc compatibile dacă în cursul unei măsurători date (probe date) cele 2 evenimente pot avea loc simultan, altfel spus dacă evenimentul A şi B pot fi realizate simultan.
Vom nota prin (A şi B) sau (AB) evenimentul constând în realizarea simultană a evenimentelor A şi B. Vom nota prin P(A şi B) probabilitatea realizării simultane a evenimentelor A şi B.

Teorema 2: Probabilitatea a două evenimente compatibile este determinată de formula:

P(A sau B) = P(A) + P(B) - P(A şi B) (VII 10)

Vom da o ilustrare geometrică a formulei (10). Vom introduce mai întâi următoarea definiţie:


Definiţie 4: Fie dat un domeniu D a cărui arie este egală cu S. Considerăm domeniul d aparţinând lui D şi a cărui arie este .

Dacă faptul ca un punct să se găsească în D este un eveniment cert, probabilitatea ca punctul să se găsească în domeniul d va fi, prin definiţie, egală cu , altfel spus p = . Această probabilitate se numeşte probabilitate geometrică.

Vom avea atunci, estimând pentru un punct, că faptul de a se găsi în pătratul din figură este un eveniment cert.


b c
a e f A B
g ( D)


Rezultă deci egalitatea:
aria ,,abcga" = aria ,,abfga" + aria ,,bcgeb" - aria ,,gebfd" (VII 11)


Putem calcula, în mod analog, probabilitatea sumei unui număr oarecare de evenimente aleatoare compatibile.













4. Produsul probabilităţilor evenimentelor independente

Definiţia 1: Se spune că evenimentul A este independent de evenimentul B, dacă probabilitatea de realizare a evenimentului B nu depinde de faptul că evenimentul A este produs sau nu.
Teorema: Dacă evenimentele aleatoare A şi B sunt independente, probabilitatea de realizare simultană a evenimentelor A şi B este egală cu produsul probabilităţilor de realizare a evenimentelor A şi B.

P(A şi B) = P(A) o P(B) (VII 12)

Această teoremă se mai numeşte şi teorema de intersecţie a evenimentelor. Şi se notează:
P(A  B) = P(A) o P(B) (VII 12' )

Avem deci: A  (B  C) = (A  B)  (A  C) şi
P[A  (B  C)] = P(A  B) + P(A  C).
Pâna aici nu a fost definită operaţia "U"

Demonstraţie: Vom utiliza pentru demonstraţia acestei teoreme, schema urnelor. Fiecare urnă conţine respectiv n1 şi n2 bile. În prima urnă sunt m1 bile roşii şi restul negre, iar în a doua urnă sunt m2 bile roşii şi restul negre.
Se extrage o bilă din fiecare urnă. Care este probabilitatea ca cele două bile extrase sa fie roşii?
Notăm cu A evenimentul extragerii unei bile roşii din prima urnă şi cu B evenimentul extragerii unei bile roşii din a doua urnă. Avem:

P(A) = ; P(B) =
Probabilitatea de a extrage o bilă din fiecare urnă este de n1 n2 ori. Numărul cazurilor favorabile de extragere a două bile roşii este m1 m2 . Probabilitatea de realizare simultană a evenimentelor A şi B este:

P(A şi B) = =  = P(A)  P(B) (VII 13)

ceea ce trebuia demonstrat.

m1

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o


n2

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
m2

Figura de mai sus încearcă să ofere o ilustrare a acestei demonstraţii.

Pentru cazul a n evenimente A1 , A2 ... ... ... An se poate demonstra în mod analog egalitatea :

P(A1 şi A2 şi ... ... şi An) = P(A1) o P(A2) oooooooooooooP(An) (VII 14)

Exemplul 1: Funcţionarea corectă a unui aparat depinde de corectitudinea funcţionării fiecăruia din cele 3 elemente componente. Probabilitatea de funcţionare corectă a celor 3 elemente în timpul unui ciclu să fie p1 = 0,6; p2 = 0,7 ; p3 = 0,9. Să se găsească probabilitatea de funcţionare corectă aparatului în cursul unui ciclu de măsurători dat.

Soluţie: După teorema produsului (intersecţiei) avem:

p = p1 p2 p3 = 0,6  0,7  0,9 = 0,376

Remarcă: teorema 2 asupra sumei probabilităţilor evenimentelor compatibile se scrie:

P(A sau B) = P(A) + P(B) - P(A)  P(B)
Aceasta mai este şi teorema de reuniune a evenimentelor.


Exemplul 2: Probabilitatea de realizare a unui eveniment în cursul unei probe este egală cu p. Să se determine numărul de probe necesare pentru ca probabilitatea de realizare a evenimentului să fie mai mare sau egală cu Q.

Soluţie: Vom putea scrie după teorema sumei şi produsului probabilităţilor
Q 1 - (1 - p)n

Rezolvând această inegalitate în raport cu n, vom obţine:

n


5. Evenimente dependente. Probabilitate condiţionată. Probabilitate totală.

Definiţia 1: Se spune că evenimentul A depinde de evenimentul B dacă probabilitatea realizării evenimentului A depinde de faptul dacă evenimentul B este sau nu realizat. Sau că B implică pe A se mai scrie:

A B sau B A

iar probabilitatea se notează cu P(A/B) şi se mai numeşte probabilitate condiţionată a evenimentului A ştiind că B este realizat.

Exemplul 1: O urnă conţine 3 bile albe şi 2 bile negre. Se extrage o primă bilă din urnă (prima extragere) apoi a doua (a doua extragere). Notăm cu B evenimentul ce actualizează apariţia unei bile albe la prima extragere şi A evenimentul care conduce la apariţia unei bile albe la a doua extragere.

Soluţie: La extragerea unei bile albe rămân 2 bile albe şi 2 negre, deci probabilitatea să se realizeze evenimentul A, evenimentul B realizându-se , este :
P(A/B) = =
Probabilitatea realizării lui A când B nu este realizat este:

P(A / ) =
Se vede că: P(A/B)  P(A / )

Teorema 1: Probabilitatea de realizare simultană a două evenimente este egală cu produsul probabilităţii a unuia dintre ele prin probabilitatea condiţionată a celui de-al doilea, calculată cu condiţia ca primul eveniment să fie realizat, altfel spus:

P(A şi B) = P(B) * P(A / B) (VII 15)

Demonstraţie: Vom da o demonstraţie pentru evenimente care se reduc la schema urnelor (adică la care se poate aplica definiţia clasică a probabilităţii).
Presupunem că urna conţine n bile, din care n1 sunt albe iar n2 sunt negre. Presupunem însă că printre cele n1 bile albe un număr de ? bile sunt notate cu asterisc şi că celelalte sunt albe simple: (Vezi figura.)

n
n1
o o o o o o o o o o o o


Extragem o bila din urnă, care este probabilitatea ca bila extrasă să fie o bilă albă marcată cu asterisc? Fie B evenimentul extragerii unei bile albe şi A evenimentul extragerii unei bile albe marcate. Rezultă că:

P(B) =
iar probabilitatea apariţiei unei bile albe marcate este condiţionată de extragerea unei bile albe, deci:

P(A / B) =
Probabilitatea extragerii unei bile albe cu asterisc este P(A şi B). Rezultă:

P(A şi B) =
Dar
= *
sau
P(A şi B) = P(B) * P(A/B) (VII 16)

şi teorema este demonstrată.

Dacă evenimentul considerat nu este în cadrul schemei clasice, atunci formula 1 defineşte probabilitatea condiţionată a evenimentului A dacă evenimentul B este realizat. Aceasta este definită deci de formula:

P(A/B) = (Dacă P(B)  0) (VII 17)

Remarca 1: Aplicăm aceasta a doua formulă la expresia P(A şi B) Avem:

P(B şi A) = P(A) * P(B / A) (VII 18)

În egalităţile 16 şi 18 primii termeni sunt egali. Astfel:

P(A şi B) = P(B) * P(A/B) = P(A) * P(B / A) (VII 19)

Exemplul 2: Pentru cazul exemplului 1 dat la începutul acestui paragraf avem:
P(B) = ; P(A/B) =



Vom obţine cu formula (1) :

P(A şi B)= * =

Probabilitatea P(A şi B) poate de asemenea să se obţină uşor printr-un calcul direct.

Exemplul 3: Probabilitatea de fabricaţie a unei piese de calitate conform normelor este pentru o mărime de 0,9. Probabilitatea de realizare a unei piese de calitate superioare normei pentru cele care o satisfac este de 0,8. Să se calculeze probabilitatea de realizare a unei piese de calitate superioară cu ajutorul unei maşini date.
Soluţie: Fie B evenimentul fabricării unei piese normale de maşină şi A evenimentul realizării unei piese de calitate superioară.

Aici P(B) = 0,9 ; P(A/B) = 0,8. Înlocuind aceste valori în (VII 16) obţinem:

P(A şi B) = 0,9 * 0,8 = 0,72

Teorema 2: Dacă evenimentul A nu poate fi realizat decât dacă unul din evenimentele B1 B2 ... ... Bn formând un sistem exhaustiv de evenimente mutuale incompatibile este realizabilă, atunci probabilitatea evenimentului A este dată de formula:

P(A) = P(B1) * P(A/B1)+ P(B2) * P(A/B2)+...+ P(Bn) * P(A/Bn) (VII 20)

Demonstraţie: Evenimentul A poate avea loc dacă unul din toate evenimentele compatibile următoare este realizat.

( B1 şi A); ( B2 şi A) , ............., ( Bn şi A).

Vom obţine deci în virtutea teoremei de adunare a probabilităţilor:

P(A) = P( B1 şi A) + P( B2 şi A) + .......+ P( Bn şi A); (VII 21)

Înlocuind termenii din membrul drept al lui (VII 21) prin (VII 16) obţinem (VII 20).

Exemplul 4: Trei focuri de armă sunt trase asupra unei ţinte. Probabilitatea de a atinge ţinta este egală respectiv cu:

p1 = 0,3
p2 = 0,6
p3 = 0,8.

Probabilitatea de distrugere a ţintei este 1 = 0,2 când ţinta este lovită odată, 2 = 0,7 când e lovită de două ori, si 3 = 1,0 când ea este lovită de trei ori. Să se determine probabilitatea de distrugere a ţintei după executarea celor trei focuri. (evenimentul A).

Soluţie: Considerăm sistemul exhaustiv de evenimente mutuale incompatibile.

B1 = o lovitură în plin (o atingere)
B2 = 2 lovituri în plin
B3 = 3 lovituri în plin
B4 = nici o lovitură

Determinăm probabilitatea fiecărui eveniment. Ţinta va fi lovită o dată dacă este atinsă de primul foc şi nu este lovită de cel de-al doilea foc şi de cel de al treilea, apoi dacă este lovită numai de al doilea şi de primul şi de al treilea nu este lovită, şi dacă este lovită numai de al treilea iar nu de primele două.

Atunci conform teoremei produsului şi sumei probabilităţilor, avem:

P(B1) = p1(1- p2) (1- p3) + (1- p1) p2 (1- p3) + (1- p1) (1- p2) p3 = 0,332

Prin acelaşi raţionament, obţinem:

P(B2) = p1p2(1- p3) + p1(1- p2) p3 + (1- p1) p2 p3 = 0,468

P(B3) = p1p2 p3 = 0,144

P(B4) = (1- p1) (1- p2) (1- p3) = 0,056

Scriem probabilităţile condiţionate de distrugere a ţintei, în cazul realizării fiecăruia din aceste evenimente:

P(A/B1) = 0,4; P(A/B2) = 0,7; P(A/B3) = 1,00; P(A/B4) = 0.

Înlocuind expresiile obţinute în (VII 21), vom obţine probabilitatea de distrugere a ţintei:

P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + P(B3)P(A/B3) + P(B4)P(A/B4) =

= 0,332 * 0,4 + 0,468 * 0,7 + 0,144 * 1,00 + 0,056 * 0 = 0,6044.

Remarca 2: Dacă evenimentul A nu depinde de evenimentul B, avem:

P(A/B) = P(A)

şi formula (16) are forma:

P(A si B) = P(B)P(A)

Adică formula (VII 13).










6. Probabilitatea cauzelor. Formula lui Bayes.

Punerea problemei. Considerăm de asemenea un sistem exhaustiv de evenimente mutuale incompatibile B1 , B2 ,......., Bn? ale căror probabilităţi corespunzătoare sunt P(B1) , P(B2) , ........, P(Bn). Evenimentul A nu poate avea loc decât împreună cu unul din evenimentele B1 , B2 ,......., Bn? , pe care le numim cauze (sau ipoteze).
În virtutea formulei (20) probabilitatea realizării evenimentului A va fi:

P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + ........ + P(Bn)P(A/Bn) (VII 22)

Presupunem că evenimentul A va fi realizat. Actualizarea evenimentului A va antrena o modificare a probabilităţilor cauzelor P(B1) , P(B2) , ........, P(Bn). Determinând probabilităţile condiţionate a acestor cauze şi presupunând că evenimentul A este actualizat, în alţi termeni, determinăm:

P(B1 / A), P(B2 / A), ... P(Bn / A)

Soluţia problemei: Cu ajutorul relaţiei (19) găsim:

P(A şi B) = P(B1) P(A/B1) = P(A) P(B1/A)

de unde vom găsi:

P(B1/A) =

Înlocuind pe P(A) cu expresia sa din (22) obţinem:

P(B1/A) = (VII 23)

În mod analog, găsim: P(B2 /A) ... sau

P(Bk/A) = (VII 24)

Formulele (VII 23) sau (VII 24) se numesc formulele lui Bayes, sau teorema cauzelor.

Remarcă: Din formula (24) rezultă că în expresia probabilităţii P(Bk / A) (probabilitatea de realizare a cauzei Bk , după actualizarea evenimentului A) numitorul nu depinde de indicele k.
Exemplul 1: Presupunem că înaintea unei probe, există 4 cauze echiprobabile
B1, B2, B3, B4 .

P(B1) = P(B2) = P(B3) = P(B4) = 0,25

Probabilităţile condiţionate ale realizării evenimentului A sunt respectiv:

P(A/B1) = 0,7 P(A/B2) = 0,1
P(A/B3) = 0,1 P(A/B4) = 0,02

Presupunem că după probă evenimentul A se realizează. Vom obţine, după formula (24)

P(B1/A) = =  0,76

P(B2/A) = = 0,11
P(B3/A) = = 0,11

P(B4/A) = = 0,02
Avem aici P(B1) = 0,25 ; P(B1/A) = 0,76 care este mai mare deoarece evenimentul A este realizat

P(A/B1) = 0,7



7. Variabile aleatoare discrete. Legea de distribuţie a unei variabile aleatoare

Definiţia 1: Variabila x luând în urma unei măsurători una din valorile unei suite finite sau infinite x1, x2, ... , xk ,... se numeşte variabilă aleatoare discretă dacă la fiecare valoare xk corespunde o probabilitate pk pentru ca variabila x ia valoarea xk.
Rezultă din definiţie că la fiecare valoare xk îi este asociată o probabilitate pk

Relaţia funcţională ce leagă probabilitatea pk de xk este numită legea de distribuţie a probabilităţilor unei variabile aleatoare discrete, sau simplu ,,legea de distribuţie" .(vezi tabelul)
Aceeaşi lege de distribuţie poate fi dată grafic, sub forma unui poligon de distribuţie când
DOWNLOAD REFERAT
« mai multe referate din Matematica

CAUTA REFERAT

TRIMITE REFERAT CERE REFERAT
Referatele si lucrarile oferite de E-referate.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.
Confidentialitatea ta este importanta pentru noi

E-referate.ro utilizeaza fisiere de tip cookie pentru a personaliza si imbunatati experienta ta pe Website-ul nostru. Te informam ca ne-am actualizat termenii si conditiile de utilizare pentru a integra cele mai recente modificari privind protectia persoanelor fizice in ceea ce priveste prelucrarea datelor cu caracter personal. Inainte de a continua navigarea pe Website-ul nostru te rugam sa aloci timpul necesar pentru a citi si intelege continutul Politicii de Cookie. Prin continuarea navigarii pe Website-ul nostru confirmi acceptarea utilizarii fisierelor de tip cookie conform Politicii de Cookie. Nu uita totusi ca poti modifica in orice moment setarile acestor fisiere cookie urmarind instructiunile din Politica de Cookie.


Politica de Cookie
Am inteles