Phi si phi - proportia divina

2x puncte

categorie: Matematica

nota: 9.79

nivel: Liceu

     Despre numărul de aur (Phi si phi)





      Să începem cu o problemă de estetică. Să considerăm un segment de dreaptă. Care este cea mai "plăcută" împărtire a acestui segment în două părti ? Unii ar spune că în două jumătăti, altii ar spune că în proportie de 3:1



      Grecii antici au găsit un răspuns pe car[...]
DOWNLOAD REFERAT

Preview referat: Phi si phi - proportia divina

     Despre numărul de aur (Phi si phi)





      Să începem cu o problemă de estetică. Să considerăm un segment de dreaptă. Care este cea mai "plăcută" împărtire a acestui segment în două părti ? Unii ar spune că în două jumătăti, altii ar spune că în proportie de 3:1



      Grecii antici au găsit un răspuns pe care ei îl considerau corect (teoreticienii îl numesc "simetrie dinamică"). Dacă părtii stângi a segmentului îi atribuim lungimea u=1, atunci partea dreaptă va avea o lungime v=0,618... Despre un segment partitionat astfel spunem că este împărtit în Sectiunea (sau Proportia, Diviziunea) de aur (divină).







      Care este justificatia pentru înzestrarea acestei proportii particulare cu un asemenea statut aparte ? Ideea este că lungimea u reprezintă aceeasi parte din tot segmentul (u+v) cât reprezintă lungimea v din partea u. Cu alte cuvinte :





      Dacă notăm ?=u/v, vom rezolva ecuatia pentru ?, observand că :









      Rădăcina pozitivă a ecuatiei, care se poate scrie



?2 - ? - 1 = 0







este :

o constantă care este numită Numărul de aur sau Proportia divină.







      Dacă presupunem u=1, atunci



, cum am presupus mai devreme. Notăm numărul v = 0.6180339887... = ? (phi).





     Numărul de aur si Fibonacci





      Afirmăm că numărul nostru Phi este strâns legat de sirul lui Fibonacci. Pentru cei care nu stiu, sirul lui Fibonacci este definit prin :



f0=0; f1=1; fn= f0+ f1 (oricare n32).



      Acest sir exprimă (într-un mod naiv) cresterea populatiei de iepuri. Se presupune că iepurii au câte doi pui o dată la fiecare lună după ce împlinesc vârsta de două luni. De asemenea, puii nu mor niciodată si sunt unul de sex masculin si unul de sex feminin.







      În felul acesta, numărul de perechi de iepuri existente după n luni ar trebui să fie f--n. Vă puneti întrebarea ce poate avea în comun ? cu sirul lui Fibonacci ? Aceasta este o idee remarcabilă a matematicii. Pentru început să observăm că :







? este o fractie infinită.



























      Acum să privim fractiile partiale :

      Toate rezultatele fractiilor sunt rapoarte de numere Fibonacci succesive, fapt ce "motivează" teorema ce spune că :









      În cuvinte putem spune că, pe măsură ce n se apropie de infinit, raportul termenilor al n+1-lea si al n-lea din sirul lui Fibonacci se apropie de ?. Această teoremă este valabilă pentru orice secventă arbitrară ce satisface recurenta :



fn= f0+ f1 (oricare n32), cu proprietatea că primii doi termeni sunt diferiti.





     Reprezentare grafică - dreptunghiuri de aur





      Legătura geometrică dintre numărul Phi si numerele lui Fibonacci poate fi văzută in graficul din anexa 1. Pornind de la un dreptunghi de aur (de lungime ? si lătime 1), urmează un sir natural de "cuibăriri" ale dreptunghiurilor divine în cel initial.



      Lungimea si lătimea celui de-al n-lea dreptunghi de aur pot fi scrise ca expresii liniare, unde coeficientii sunt întotdeauna numere Fibonacci. Aceste dreptunghiuri pot fi înscrise într-o spirală logaritmică, asa cum arată imaginea. Să presupunem că punctul din coltul din stânga jos al primului dreptunghi este originea unui sistem rectangular de coordonate. Apare acum întrebarea : unde se află punctul spre care tinde spirala?







      Răspunsul este : spirala tinde spre punctul de coordonate





      Asemenea spirale logaritmice sunt echiangulare, în sensul că orice dreaptă ce trece prin punctul taie spirala sub un unghi constant. În sensul acesta, spunem că spirala este o generalizare a cercului, unde unghiul este de 900. Spirala noastră are un unghi











      Spiralele logaritmice se întâlnesc destul de des si în natură. De exemplu carcasa unui melc, coltii unui elefant sau conurile de pin au formă de spirală.











      Altă aplicatie geometrică a numărului Phi apare la desenarea unui pentagon regulat fără cerc si compas. Aceasta este legată de faptul că







     Alte siruri care tind la Phi









      La fel de simplu cum ? este o fractie infinită, tot asa poate fi si un radical infinit :



      Iată altă serie infinită legată de ? :









      Dintre multe alte expresii posibile ce se apropie de ? urmatoarele două sunt mai cunoscute :











     Câteva curiozităti despre Phi si phi





      Un prim fapt ce "sare în ochi" si este cel putin curios îl constituie relatia simplă între ?, p si e :









     Pare într-adevăr ciudat cum trei numere irationale se "leagă" printr-o expresie atât de simplă, însă matematicienii au demonstrat că asa stau lucrurile si vrem nu vrem trebuie să-i credem. Cine nu crede poate folosi un calculator electronic pentru a face niste calcule simple cu vreo opt zecimale si va fi uimit rezultate.



      Coincidentele nu se opresc însă aici. Să considerăm următorul sir :



f0=0.6180339887...; f1=1.000; f0=1.6180339887... ; f0=2.6180339887...;



fn= f0+ f1 (oricare n32).



      Din definitia sirului se observă că oricare doi termeni consecutivi adunati îl dau ca rezultat pe următorul. Este însă nevoie de un ochi ager pentru a observa că prin înmultirea oricărui termen cu ?=1.6180339887... va rezulta termenul imediat următor.



     Asadar . Prezentăm acum câteva egalităti simple cu ? si ? :



















      ?2 = ?+1



      ?n+2= ?n+1+ ?n



      ?2= ? +1



      ?n+2= ?n+1+ ?n













     Anexa nr. 1



     Reprezentarea grafică















     Anexa nr. 2





     Programul sursă C++ ce creează reprezentarea grafică (din anexa 1)



#include

#include

#include

#include

#include

int x31,x32,y31,y32;

void rect1 (int x1, int y1, int x2, int y2)

{ setcolor(1);

rectangle(x1,y1,x2,y2);

setcolor(14);

arc(x1+y2-y1,y2,90,180,y2-y1);

}

void rect2 (int x1, int y1, int x2, int y2)

{ setcolor(1);

rectangle(x1,y1,x2,y2);

setcolor(14);

arc(x1,y1+x2-x1,0,90,x2-x1);

}

void rect3 (int x1, int y1, int x2, int y2)

{ setcolor(1);

rectangle(x1,y1,x2,y2);

setcolor(14);

arc(x2-y2+y1,y1,270,360,y2-y1);

}

void rect4 (int x1, int y1, int x2, int y2)

{ setcolor(1);

rectangle(x1,y1,x2,y2);

setcolor(14);

arc(x2,y2-x2+x1,180,270,x2-x1);

}

void gold(int n)

{ int i,j,k,l;

for(i=1;i { if (i%4==0) if ((x32>x31)&&(y32>y31))

{ rect1(x31,y31,x32,y32-x32+x31); y32=y32-x32+x31; }

else break;

if (i%4==1) if ((x32>x31)&&(y32>y31))

{ rect2(x31+y32-y31,y31,x32,y32); x31=x31+y32-y31; }

else break;

if (i%4==2) if ((x32>x31)&&(y32>y31))

{ rect3(x31,y31+x32-x31,x32,y32); y31=y31+x32-x31; }

else break;

if (i%4==3) if ((x32>x31)&&(y32>y31))

{ rect4(x31,y31,x32-y32+y31,y32); x32=x32-y32+y31; }

else break;

} }

void main()

{ int n;

int gdriver=DETECT,gmode;

initgraph(&gdriver,&gmode,"");

x31=10;

y31=20;

x32=625;

y32=400;

cout cin >> n;

cleardevice();

setbkcolor(0);

rect1(x31,y31,x32,y32);

gold(n);

getch();

closegraph();

}



     Anexa nr. 3





     Numărul Phi cu 20.000 de zecimale
DOWNLOAD REFERAT
« mai multe referate din Matematica

CAUTA REFERAT

TRIMITE REFERAT CERE REFERAT
Referatele si lucrarile oferite de E-referate.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.
Confidentialitatea ta este importanta pentru noi

E-referate.ro utilizeaza fisiere de tip cookie pentru a personaliza si imbunatati experienta ta pe Website-ul nostru. Te informam ca ne-am actualizat termenii si conditiile de utilizare pentru a integra cele mai recente modificari privind protectia persoanelor fizice in ceea ce priveste prelucrarea datelor cu caracter personal. Inainte de a continua navigarea pe Website-ul nostru te rugam sa aloci timpul necesar pentru a citi si intelege continutul Politicii de Cookie. Prin continuarea navigarii pe Website-ul nostru confirmi acceptarea utilizarii fisierelor de tip cookie conform Politicii de Cookie. Nu uita totusi ca poti modifica in orice moment setarile acestor fisiere cookie urmarind instructiunile din Politica de Cookie.


Politica de Cookie
Am inteles