Operatii cu functii derivabile - derivatele unor functii uzuale

3x puncte

categorie: Matematica

nota: 5.04

nivel: Facultate

Referat despre Operatii cu functii derivabile - derivatele unor functii uzuale
b) Funcția putere ƒ: R → R, ƒ(x) = xn ( n real și x > 0) este derivabilă pe R și ƒ’(x)=nxn-1. (2).
c) Funcția logaritmică ƒ: (0, ) → R, ƒ (x) = ln x este derivabilă pe domeniul de definiție și are derivata (3).
d) Funcțiile trigonometrice ƒ, g: R &ra[...]
DOWNLOAD REFERAT

Preview referat: Operatii cu functii derivabile - derivatele unor functii uzuale

Referat despre Operatii cu functii derivabile - derivatele unor functii uzuale
b) Funcția putere ƒ: R → R, ƒ(x) = xn ( n real și x > 0) este derivabilă pe R și ƒ’(x)=nxn-1. (2).
c) Funcția logaritmică ƒ: (0, ) → R, ƒ (x) = ln x este derivabilă pe domeniul de definiție și are derivata (3).
d) Funcțiile trigonometrice ƒ, g: R → R, ƒ( x ) = sin x, g( x )=cos x sunt derivabile pe R și pentru orice x avem
(sin x)’ = cos x
(cos x)’= -sin x

Demonstrațiile tuturor acestor derivate se fac ușor folosind definiția derivatei.

Reguli de derivare
In continuare arătăm că pentru funcții ca ƒ, g : E→R derivabile, E R, funcțiile ƒ + g, ƒ-g, fg etc. au aceeași proprietate.

Teorema 1
Presupunem că ƒ, g sunt derivabile în punctul x0 E și o constantă.
Atunci :
(a) suma ƒ + g este derivabilă în x0 și
(b) λƒ este derivabilă în x0 și
(c) produsul ƒg este o funcție, derivabilă în x0 și

Teroema 2
Presupunem că ƒ și g sunt derivabile în x0 și că . Atunci funcția – cât este derivabilă în x0 și, în plus :

Derivarea unei funcții compuse și a inversei unei funcții
Trecem acum la stabilirea altor două teorema generale de derivare, relativ la compunere și inversare. Deosebit de importantă este formula de derivare a funcțiilor compuse. In acest sens, are loc:

Teorema 3
Fie I, J intervale și două funcții. Dacă ƒ este derivabilă în punctul x0 I, și g este derivabilă în punctul y0=ƒ(x0), atunci funcția compusă G= g ƒ este derivabilă în x0 și G’(x0) = g’(y0)f’(x0). Dacă ƒ este derivabilă pe I, g este derivabilă pe J, atunci g f este derivabilă pe I și are loc formula :

Teorema 4
Fie ƒ: I →J o funcție continuă și bijectivă între două intervale. Presupunem că ƒ este derivabilă într-un punct x0 I și ƒ’(x0) 0, atunci inversa g=f-1 este derivabilă în punctul y0=f(x0) și, în plus,

Derivatele funcțiilor uzuale și a regulilor de derivare

Reguli de derivare
1.
2.
3.
4.
O funcție ƒ: [a, b] R (a< b) se numește funcție Rolle dacă este continuă pe intervalul compact [a, b] și derivabilă pe intervalul deschis (a, b). Teorema care urmează este o consecință a rezultatelor privind funcțiile și a teoremei lui Fermat, foarte utilă în aplicații.

Teorema lui M. Rolle
Fie ƒ: [a, b] R a< b o funcție Rolle astfel încât ƒ(a)= ƒ(b), atunci există cel puțin un punct c (a, b) astfel încât ƒ’(c)=0.
Demonstrație. Funcția ƒ fiind continuă (conform teoremei lui Weierstrass) este mărginită și își atinge marginile în [a, b]. Fie m= M= .

Apar trei cazuri :
I. M> ƒ(a). Există un punct c [a, b] astfel încât M=ƒ(c) (M fiind atinsă) și, evident, c a, a b (dacă c= a sau b, atunci M= ƒ(c) ar fi egal cu ƒ(a)= ƒ(b), absurd); așadar, c (a, b) și cum c este maxim local, atunci conform teoremei lui Fermat ƒ’(c)=0.
II. m< ƒ(a). Similar.
III. m= M. Atunci funcția ƒ este constantă pe [a, b], deci ƒ’(c)=0 pentru orice c (a, b).

COROLAR. Intre două zerouri ale unei funcții derivabile pe un interval se află cel puțin un zerou al derivatei.

Demonstrație. Fie ƒ: IR derivabilă pe un interval I și a, b I, a< b, zerouri ale lui ƒ. Atunci ƒ(a)=0=ƒ(b) și putem aplica teorema lui Rolle pe intervalul [a, b].

Teorema lui Rolle admite o interpretare geometrică evidentă: dacă
segmentul determinat de punctele (a, ƒ(a)), (b, ƒ(b)) este paralel cu axa Ox, atunci există cel puțin un punct între a și b în care tangenta la graficul lui ƒ este paralelă cu axa Ox (fig. 6).

Observații.
Toate condițiile din enunțul teoremei lui Rolle sunt necesare, în sensul că dacă s-ar renunța la vreuna din ele, atunci concluzia nu ar mai fi întotdeauna adevărată.
a) Dacă ƒ ar fi continuă numai pe intervalul deschis (a, b), exemplul funcției arată că ƒ’ nu se anulează pe intervalul (0, 1) deși ƒ(0)=ƒ(1). (fig. 7).
b) Dacă ƒ(a) ƒ(b), este suficient să considerăm funcția ƒ(x)= x pe [0, 1] (fig 8).
c) Dacă ƒ nu ar fi derivabilă pe întreg intervalul (a, b), concluzia teoremei ar fi falsă, așa cum arată exemplul funcției ƒ(x)=| x | pe intervalul [-1, 1].

Teorema lui Cauchy
Fie ƒ, g două funcții Rolle pe intervalul compact [a, b], a< b, astfel încât g’(x) 0, x (a, b); atunci există un punct c (a, b) astfel încât

Demonstrație.
Condiția g’(x) 0 pentru orice x (a, b) implică faptul că g(a) g(b); într-adevăr, dacă g(a)=g(b), aplicând teorema lui Rolle , ar rezulta că există c (a, b) astfel ca g’(c)=0, ceea ce contravine ipotezei.

Considerăm funcția ajutătoare F(x)=ƒ(x)+kg(x), k R și determinăm k astfel ca F(a)=F(b), deci k= . Aplicând teorema lui Rolle funcției F cu k astfel determinat, există c (a, b) astfel încât F’(c)=0. Dar F’(x)=F’(x)+kg’(x), x (a, b), deci ƒ’(c)+kg’(c)=0, -k= , de unde se obține relația ce trebuia demonstrată.

Observație.
Am fi putut mai întâi sa demonstrăm teorema lui Cauchy și apoi, pentru g(x)=x, am fi demonstrat teorema lui Lagrange..
In cele ce urmează, vom indica o proprietate importantă a funcțiilor care admit primitive, deci care sunt derivate ale altor funcții.
DOWNLOAD REFERAT
« mai multe referate din Matematica

CAUTA REFERAT

TRIMITE REFERAT CERE REFERAT
Referatele si lucrarile oferite de E-referate.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.
Confidentialitatea ta este importanta pentru noi

E-referate.ro utilizeaza fisiere de tip cookie pentru a personaliza si imbunatati experienta ta pe Website-ul nostru. Te informam ca ne-am actualizat termenii si conditiile de utilizare pentru a integra cele mai recente modificari privind protectia persoanelor fizice in ceea ce priveste prelucrarea datelor cu caracter personal. Inainte de a continua navigarea pe Website-ul nostru te rugam sa aloci timpul necesar pentru a citi si intelege continutul Politicii de Cookie. Prin continuarea navigarii pe Website-ul nostru confirmi acceptarea utilizarii fisierelor de tip cookie conform Politicii de Cookie. Nu uita totusi ca poti modifica in orice moment setarile acestor fisiere cookie urmarind instructiunile din Politica de Cookie.


Politica de Cookie
Am inteles