Metoda inductiei matematice

2x puncte

categorie: Matematica

nota: 9.08

nivel: Gimnaziu

     1. METODA INDUCTIEI MATEMATICE COMPLETE

     Este o metoda de rationament prin care stabilim ca:

      O proprietate P(n) care depinde de un numar natural n este verificata pentru orice numar natural nk atunci sunt satisfacute simultan conditiile:

     a) Proprietatea P(n) este adevarata pentru n=k; kN

     b) (P(k), kn) P(n+1), [...]
DOWNLOAD REFERAT

Preview referat: Metoda inductiei matematice

     1. METODA INDUCTIEI MATEMATICE COMPLETE

     Este o metoda de rationament prin care stabilim ca:

      O proprietate P(n) care depinde de un numar natural n este verificata pentru orice numar natural nk atunci sunt satisfacute simultan conditiile:

     a) Proprietatea P(n) este adevarata pentru n=k; kN

     b) (P(k), kn) P(n+1), () nk, adica presupunem P(k) adevarata pentru orice kn rezulta p(n+1) adevarata, pentru orice nk.



     2. PERMUTARI

     

Fie E={1, 2, ...,n} o multime finita cu n elemente. Se numeste permutare a multimii E orice functie bijectiva f : E -> E.



      Notam permutarea in felul urmator

      Notam numarul de permutari Pn: Pn= n!=1.2.3...n

     conditie de existenta: nN

     conventie: 0!=1 ; 1!=1

     Pn=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)!

     3. ARANJAMENTE



      Notam cu Ank

      Sistemele ordonate cu k elemente, care se pot forma cu elementele unei multimi cu n elemente (nk), se numesc aranjamente de n elemente luate cate k.



      Ank=n!/(n-k)!=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=(n-k+1)Ank-1

     c.e. nk

     conventie: n=k Ann=Pn



     4. COMBINARI Cnk

     conventie: Cn0=Cnn=1 c.e. nk



     Formule pentru combinari complementare: Cnk=Cnn-k

      Cnk=Cn-1k+Cn-1k-1

     5. BINOMUL LUI NEWTON

     Daca a, bR, nN, atunci:

      (a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+...+Cnkan-kbk+...+Cnn-1abn-1+Cnnbn



     sau

     Tk+1=termen general

     k=se numeste rangul termenului al dezvoltarii



     (a-b)n= Cn0an-Cn1an-1b+Cn2an-2b2-...+(-1)n-kCnkan-kbk+...+(-1)n-1Cnn-1abn-1+(-1)nCnnbn



     sau

     Obs: 1) in dezvoltarea (a+b)n, dupa formula lui Newton, sunt n+1 termeni.

     2) Cn0, Cn1, Cn2,...,Cnn se numesc coeficienti binomiali

     3) Sa se faca distinctie intre coeficientul unui termen al dezvoltarii si coeficientul binomial al aceluiasi termen.



     4) Pentru a determina rangul celui mai mare termen folosim relatia:

     5) In dezvoltarea (a+b)n si (a-b)n, daca a=b atunci:

      Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnn=2n

      Cn0+Cn2+Cn4+...=Cn1+Cn3+Cn5+...=2n-1

     6) Identitatile utile:

     a) Cnk=Cn-1k-1+Cn-2k-1+...+Ck-1k-1

     b) Cn+kk=Cn0Cmk+Cn1Cmk-1+...+CnkCm0



     7) Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale





     Fie k1 un numar natural si Sk=1k+2k+3k+...+nk

      Folosim dezvoltarea (a+1)2=a2+2a+1 pentru demonstratie unde a=1,2,...n.







     Folosim dezvoltarea (a+1)3=a3+3a2+3a+1, pentru demonstratie, unde a=1,2,...n.



     Folosim dezvoltarea (a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1, pentru demonstratie, unde a=1,2,...n





     Caz particular



      6. PROGRESII ARITMETICE SI GEOMETRICE





      Teorema : Fie numerele an-1, an, an+1 in progresie aritmetica. Atunci:

2an=an-1+an+1





     Def: Fie numerele a1, a2, a3,...,an in progresie aritmetica, daca an=a1+(n-1)r sau an=an-1+1, unde: an= ultimul termen

      a1=primul termen

      an-1=penultimul termen

      n=numarul de termeni

      r=ratia progresiei aritmetice





     Obs: Pentru verificare r=a2-a1=a3-a2=a4-a3=...=an-an-1



     Teorema: Fie numerele bn-1, bn, bn+1 in progresie geometrica. Atunci

bn2=bn-1.bn+1

     Def: Fie numerele b1, b2,...bn in progresie geometrica, daca bn=b1.qn sau bn=bn-1.q unde: bn=ultimul termen

      b1=primul termen bn-1=penultimul termen n=numarul de termeni q=ratia progresiei geometrice





     Obs: pentru verificare q=a2/a1=a3/a2=...=an/an-1
DOWNLOAD REFERAT
« mai multe referate din Matematica

CAUTA REFERAT

TRIMITE REFERAT CERE REFERAT
Referatele si lucrarile oferite de E-referate.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.
Confidentialitatea ta este importanta pentru noi

E-referate.ro utilizeaza fisiere de tip cookie pentru a personaliza si imbunatati experienta ta pe Website-ul nostru. Te informam ca ne-am actualizat termenii si conditiile de utilizare pentru a integra cele mai recente modificari privind protectia persoanelor fizice in ceea ce priveste prelucrarea datelor cu caracter personal. Inainte de a continua navigarea pe Website-ul nostru te rugam sa aloci timpul necesar pentru a citi si intelege continutul Politicii de Cookie. Prin continuarea navigarii pe Website-ul nostru confirmi acceptarea utilizarii fisierelor de tip cookie conform Politicii de Cookie. Nu uita totusi ca poti modifica in orice moment setarile acestor fisiere cookie urmarind instructiunile din Politica de Cookie.


Politica de Cookie
Am inteles