Derivarea functiilor compuse

3x puncte

categorie: Matematica

nota: 8.17

nivel: Liceu

1. Derivarea functiilor compuse:


In acest paragraf vom arata ca prin compunerea unei functii derivabile se obtin tot functii derivabile.

Teorema: Fie I si J integrale din R si functiile u:I→J si f:J→R.
Daca u este derivabila in x0 J, iar f este derivabila in u0=u(x0) J , atunci functia compusa f u:J→R este derivabila in x[...]
DOWNLOAD REFERAT

Preview referat: Derivarea functiilor compuse

1. Derivarea functiilor compuse:


In acest paragraf vom arata ca prin compunerea unei functii derivabile se obtin tot functii derivabile.

Teorema: Fie I si J integrale din R si functiile u:I→J si f:J→R.
Daca u este derivabila in x0 J, iar f este derivabila in u0=u(x0) J , atunci functia compusa f u:J→R este derivabila in x0 si (f u)'(x0)=
f '(u0)∙u'(x0)

1. ∙

=f'(u0)∙u'(x0)

Consecinta: Deoarece x0 a fost ales arbitrar, rezulta ca daca u:I→J si f:J→R sunt derivabile , atunci f u este dericabila si (f u)'=f'(u)∙u'
Derivata unei funcii compuse este produsul derivatelor celor doua functii in ordinea compunerii lor.

Observatie: (g f u)'=g'(f u)∙f'(u)∙u'

Demonstratie.Trebuie probat ca:

Definim functia: F: J R astfel:
F(y)= ,daca y y0
g'(y0), daca y=y0

Evident F este continua in y0 deoarece:
F(y)= =g'(y0)=F(y0)
Are loc egalitatea: =F(f(x)) ,daca x x0 (1)
Intr-adevar, daca f(x)=f(x0) , atunci ambrii membri sunt nuli.




Daca
f(x) f(x0) , atunci f(x) y0 si F(f(x))= si se constata ca relatia (1) se verifica.
Trecand la limita in (1) dupa x x0 avem:
(g f)'(x0)= = F(f(x)) =g'(y0)f'(x0)=g'(f(x0))f'(x0), unde am utilizat relatiile F(f(x))=F(y0)=g'(y0) si faptul ca f este derivabila in x0.

Teorema: Fie I , J intervale si I J R doua functii. Daca f este derivabila pe I si g este derivabila pe J , atunci g f este derivabila pe I si (g f)'=g'(f)∙f'

Observatii: 1) Daca se considera trei functii derivabile f : I J , g : J K , h:K R , atunci functia h g f : I R este derivabila si (h g f)'=h'(g f)∙
∙g'(f)∙f' rezultat ce se obtine imediat aplicand corolarul precedent
[h (g f)]'=h'(g f)∙(g f)'=h'(g f)∙g'(f)∙f'

2) Deci: derivata unei functii compuse se obtine inmultind derivatele functiilor care se compun in ordinea compunerii lor.

Exemple: Calculati functia derivata pentru fiecare dintre functiile urmatoare:

1. f:R→R , f(x)=sin3 x
Daca u(x)=sin x , atunci f(u)=u3si f'(u)=3u2
f'(x)=f'(u)∙u'(x)=3u2∙u'(x)=3 sin2x∙(sin x)'=3 sin2x∙cos x

2. f:R→, f(x)=cos x2
Daca x2=u(x), atunci f(u)=cos u si f'(u)=-sin u
f'(x)=f'(u)∙u'(x)=-sin u ∙u'(x)=-(sin x2)∙(x2)=-2x sin x2

3. f:(-∞;0) (2;∞)→R , f(x)=In(x2-2x)
Daca u(x)=x2-2x , atunci f(u)=In u si f'(u)=
f'(x)=f'(u)∙u'(x)= ∙u'(x)= ∙(x2-2x)'= =




2. Consecinte


1. [un(x)]'=n∙un-1∙u'(x) , oricare ar fi n N*

2. [ ]'= ∙u'(x) , oricare ar fi n N*

3. [In u(x)]'= ∙u'(x)

4. [sin u(x)]'=[cos u (x)]∙u'(x)

5. [cos u(x)'=-[sin u(x)]∙u'(x)

6. [tg u(x)]'= ∙u'(x)=[1+tg2u(x)]∙u'(x)

7. [ctg u(x)]'=- ∙u'(x)=[-1-ctg2u(x)]∙u'(x)

o (xn)'=nxn-1
o ( )'=
o ( )'=

o (ax)'=ax ln a

o (logax)'=
o (ln x)'=
o (sin x)'=cos x

o (cos x)'=sin x
o (tg x)'=
o (ctg x)'=

3. Tabel cu derivatele functiilor elementare si ale functiilor compuse:



Nr. Functia Derivata Domeniul de derivabilitate Functia compusa Derivata
1. constanta c 0 R - -
2. xn(n N*)
nxn-1 R un(n N*)
n∙un-1∙u'
3. xa(a R)
axa-1 (0,∞) pentru a R/Q
ua(a R)
∙ua-1∙u'

4.

(0,∞) (u>0)


5. ax(a>0;a 1)
ax ln a R au(a>0;a 1)
au∙u'∙ln a
6. ex ex R eu eu∙u'
7. ln x
(0,∞) ln u,u 0
u'

8. sin x cos x R sin u u'∙cos u
9. cos x -sin x R cos u -u'∙sin u
10. tg x
cos x 0
tg u(cos u 0)


11. ctg x -
sin x 0
ctg u(sin u 0)
-

12. arcsin x
(-1,1) arcsin u
u (-1;1)


13. arccos x -
(-1,1) arccos u
u (-1;1)
-

14. arctg x
R arctg u

15. arcctg x -
R arcctg u -






4. Exercitii rezolvate

1. [ln (5x+2)]'= =


2. [ln (x2+5x+4)]'= =

3. =



4. Fie g , h :R R , g(x)=x2+3x+2 , h(x)=x3 pentru care g'(x)=2x+3 si h'(x)=3x2.
Sa consideram functia:
f=h g : R R , f(x)=(h g)(x)=h(g(x))=(x2+3x+2)3.
Atunci f'(x)=(h g)'(x)=h'(g(x))∙g'(x)=3g(x)∙(2x+3)=3(x2+3x+2)(2x+3)

Observatie: in acest exercitiu am ales eu functiile g, h cu ajutorul lor am constituit functia compusa f=h g. De obicei in aplicatii se da functia f si ramane in seama cititorului evidentierea functiilor care se compun. Se impune o atentie deosebita la ordinea in care apar functiile in compunere.

5. Sa se calculeze derivatele functiilor compuse (punand de fiecere data in evidenta functiile care se compun):

1) f(x)=sin x2 , x R
Functia f este compunerea functiilor g:R R , g(x)=x2, h:R R , h(x)=sin x. Atunci :
f=h g , f(x)=h(g(x))=sin x2
Deci f'(x)=h'(g(x))∙g'(x)=(cos x2)∙2x=2x cos x2
Este clar ca h , g sunt derivabile si are loc teorema de la derivarea functiilor compuse.Deci prima functie din compunere este sin si apoi functia polinomiala g(x)=x2. Daca gandim functia f(x)=sin u(x) , unde u(x)=x2 , atunci f'(x)=(sin u(x))'=cos u(x)∙u'(x)=2x cos x2.

2) f(x)=sin2x , x R;


In acest caz trebuie sa evidentiem doua functii: g:R R , g(x)=sin x si h:R R , h(x)=x2(functia putere) , pentru care g'(x)=cos x , h'(x)=2x. Deci:
f(x)=(h g)(x) si f'(x)=h'(g(x))∙g'(x)=h'(sin x)∙(sin x)'=2sin x ∙cos x=sin2x
Analog am putea considera f(x)=u2(x) , unde u(x)=sin x si deci f'(x)=2∙u(x)∙u'(x)=2sin x∙cos x =sin2x.




3) f(x)=sin3(x2+1) , x R

In acest caz avem in compunerea functiilor g,h,i :R R , unde g(x)=x2+1 , h(x)=sin x , i(x)=x3 pentru care g'(x)=2x , h'(x)=cos x , i'(x)=3x2 cand f(x)=(i h g)(x)=i(h(g(x)))=i(h(x2+1))=i(sin(x2+1))=(sin(x2+1))3 , adica ordinea in compunere este functia putere , functia sin si apoi functia polinomiala.
De aici f'(x)=i'(h(g(x)))∙h'(g(x))∙g'(x)=3h(g(x))2∙cos(g(x))∙2x=
=3sin2(x2+1)∙cos(x2+1)∙2x




4) f(x)=sin2x , x R

Aici se compune in ordine functia logaritmica h:(0, ) R , h(x)=ln x cu functia polinomiala g:(0, ) (1, ) , g(x)=x3+x2+1 cu h'(x)= si g'(x)=3x2+2x cand avem : f(x)=(h g)(x). Deci f'(x)=h'(g(x))∙g'(x)= ∙(3x2+2x)=
Daca gandim functia f ca fiind f(x)=ln u(x) unde u(x)=g(x) , atunci f'(x)= =








5) f(x)=ln5x , x>0


Scriind f(x)=(ln x)5 se constata usor ca prima functie din compunere este functia putere h: R R , h(x)=x5 , iar a doua functie este g:(0, ) R
g(x)=ln x pentru care h'(x)=5x4 , g'(x)= .
Asadar f'(x)=[(ln x)5]'=5(ln
DOWNLOAD REFERAT
« mai multe referate din Matematica

CAUTA REFERAT

TRIMITE REFERAT CERE REFERAT
Referatele si lucrarile oferite de E-referate.ro au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica.
Confidentialitatea ta este importanta pentru noi

E-referate.ro utilizeaza fisiere de tip cookie pentru a personaliza si imbunatati experienta ta pe Website-ul nostru. Te informam ca ne-am actualizat termenii si conditiile de utilizare pentru a integra cele mai recente modificari privind protectia persoanelor fizice in ceea ce priveste prelucrarea datelor cu caracter personal. Inainte de a continua navigarea pe Website-ul nostru te rugam sa aloci timpul necesar pentru a citi si intelege continutul Politicii de Cookie. Prin continuarea navigarii pe Website-ul nostru confirmi acceptarea utilizarii fisierelor de tip cookie conform Politicii de Cookie. Nu uita totusi ca poti modifica in orice moment setarile acestor fisiere cookie urmarind instructiunile din Politica de Cookie.


Politica de Cookie
Am inteles